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La precisión y la unidad de medida (beta)

martes, 18 de noviembre de 2008

Imaginemos la siguiente escena: tenemos una torta rectangular* (está bien, un budín) que mide 10 cms. de largo y hay tres comensales que exigen comer una porción del mismo exacto tamaño.


Lo intentamos y descubrimos que es imposible. Cada porción mide 3,3333 centímetros (no sé hacer el sombrerito para el periódico) que, multiplicados por 3, no dan exactamente 10, sino un infinitesimal menos. A esto se suma la imposibilidad de cortar por un tamaño periódico, por lo que requerirá algún redondeo y la imprecisión será aun mayor.

En definitiva, no pudimos cumplir con estos simpáticos pero quisquillosos caballeros.

Ahora, aparece Mr. Coki con una gran idea: no midamos la torta-budín en centímetros, sino en cokis, cuya conversión es de 1,2:1 respecto al centímetro. Por lo tanto, el postre ahora mide 12 cokis.

Tomamos el cuchillo y cortamos en porciones de 4 cokis para cada uno. Problema resuelto.

¿¡Cómo demonios pudo pasar eso!?

* sé que falta una dimensión, pero no me quedó en stock, así que se las debo.

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©Nanopoder beta - ideas a medio elaborar con potencial de prosperar o destruirse. La casa no se hace responsable por el porcentaje de idioteces que pudiere surgir.

35 comentarios:

Alexandros dijo...

Pues 3,33... multiplicado por 3 es igual a 9,99... periodico, que es exactamente igual a 10. No le veo el problema.

Coki dijo...

Alexandros:

1) ¿Cómo cortás una porción de 3,3 periódico centímetros? No parece un tamaño posible.

2) 9,9 periódico no es exactamente 10. Imaginá una función asintótica a 10 o que se anula con esa cifra (por ej. 2/(x-10) )

Alexandros dijo...

Coki, a la primera parte suponia que estabamos especulando con los tamaños, cortar una torta con esa precision seria imposible a menos que tengamos una sierra atomica (patente pendiente).

Sin embargo, aunque no te pareciera posible cortar una torta en 3,333... centimetros cada parte, si se puede cortar en 1/3 de torta y en la practica son lo mismo.
La periodicidad es solo un "defecto" de nuestro sistema decimal de numeros. Imaginate que en lugar de contar en base 10 contemos en base 12, ese problema no existiria pero no podriamos dividir 10 por 5, tendriamos problemas diferentes.

Con respecto a la diferencia entre 9,9999... y 10, repito que no existe. Podrias imaginarte, igual que antes, que (3,333...*3) = 9,999... es lo mismo que (10/3 * 3) = 30/3
Y 30/3 es 10.

O de otra forma, podrias decirme cual es el numero que hay entre 9,999... y 10. Pues me diras que es infinitamente pequeño. Pero lo unico que es infinitamente pequeño es el 0. Estarias eternamente con el 0,000000... sin encontrar otro numero.

pelad0 dijo...

Coki fijate que 1,2 cokis es 1 cm
por lo tanto, 1 coki = 0.83333 y sigue.
Entonces, si cortas una porción en 4 cokis para cada persona, seria 4 x 0.83333 y daría nuevamente 3.3333 cm.

O... tal vez estoy relacionando todo con cm y no debería no?
jaja me haces pensar demasiado y recien sali de la facultad, eso es contraproducente.

Guillermo dijo...

Jaja, buenísima la unidad de medida!

Anónimo dijo...

en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Ze0n dijo...

Como bien dice alexandros, es un problema de base, y no un problema de medición, corte -y confección!-.

Trabajemos en base 3 y chau.

Coki dijo...

Alexandros, aun me niego a aceptar que 9,9 periódico sea 10. Ví la justificación y todo, pero por ahora disiento.
Por ej., uno de los tres casos que muestran dice que 1/3=0,333 y, al multiplicar cada uno por 3, deben mantener la igualdad.
Sin embargo, 0,333 no es 1/3 exactamente, por lo que hay un error fundamental.

Pelad0, por supuesto que es cierto lo que decís. Justamente, mi "truco" es hacer es cambiar la unidad de medida (o la base, como bien dice ze0n (sos vos?) luego) para evitar los periódicos.

E insisto, aunque tuvieran razón con lo de que 0,999=1 y demás, cómo cortan una porción de torta en 3,3 periódico centímetros??
No es mucho mejor cortarla en 4 cokis??

Guillermo, gracias! Si voy a generar un avance científico lo menos que merezco es que se use mi "nombre", no? :)

Nacho dijo...

Los números exactos no existen en la realidad, son una abstracción nuestra para acercarnos a ella en la representación que hacemos para entenderla. Eso es lo que me parece que te confunde.

Coki dijo...

Nacho, claro que existen! Por lo menos los enteros.

Lo que quizás no existe son las unidades de medida.

Pero imaginalo de otro modo. En lugar de una torta y centímetros, imaginá que son 10 tortas en sí mismas que hay que repartir y hay que ser equitativo.
Le das 3 a cada uno y cómo repartís la que sobra?

Ahora, si con esa misma cantidad de masa hacías 12 tortas, asunto resuelto.


PD: che, tampoco se tomen TAN en serio las cosas que digo.

Alexandros dijo...

¡Mi voto para que el coki sea la unidad de longitud legal en la argentina! Imaginen los millones que ahorrariamos repartiendo tortas... ^^

"Sin embargo, 0,333 no es 1/3 exactamente..."

0,33333... no lo es, pero si cuando la "periodicidad" es infinita. 0,333... periodico no es mas que 1/3, o sea, la cuenta hecha en la calculadora, solo que para evitar escribir todos los numeros, lo dejamos como 1/3 y ya.

A mi tambien me parecia que 0,3333... no podia ser igual a 1/3 en su momento, pero es que es asi. Como ya dije, no es mas que un defecto de nuestro sistemas numerico.

blogy dijo...

agarras una unidad de medida y la transformas a lo que se te ocurra "cokis", pies, leguas o metros.

a vos se te ocurrio transformar centrimetros a cokis, y creo que con los antes mencionados, ya son suficientes jaja.

aunque a ese budin se aplique tu logica para esos exitistas comensales.

blogy dijo...

fijate, si no esta aca su equivalente:
http://es.metric-conversions.org/conversion-de-unidades-de-longitud.htm

si queres patentalo, pero no creo que tengas exito economico (alli estan las mas usadas y otras).

wornaki dijo...

El famoso problema de la notación decimal y los infinitesimales se ve muy bien planteado por el análisis no estándar. Si leemos acerca de los Dedekind's cuts y sobre teoría de números nos vamos a dar cuenta de que existen escuelas para 0.999 !=1 y para 0,999 = 1, aunque la última ecuación sea la más aceptada y, probablemente, la mejor manera para zanjar la cuestión.

Por otra parte, el "problema" está relacionado marginalmente con la construcción del ZFC que tomamos como válido, así que a menos que queramos discutir si 0,3333... = 1/3 (o cualquier variante sobre la representación y el axioma de elección) para siempre, cortemos el nudo gordiano a lo Alejandro.

Q dijo...

9,99999... es lo mismo que 10 por un motivo en el fondo bastante simple.
Si fueran distintos, el promedio p = (9,99999... + 10)/2 sería un número racional que satisface 9,9999... < p < 10
(el promedio es racional porque los dos lo son, entonces la suma lo es, y al dividir por 2 sigue siendo racional); y lo que sí es claro es que no hay ningún número real (racional o no) que satisfaga eso.
Después, el problema de los cokis es el mismo: cómo construís la regla que mide en cokis a partir de la regla que mide en centímetros? Si la tenías de antemano, entonces nunca fue relevante el largo de cada porción.

Anónimo dijo...

los muchachos matemáticos resuelven el tema dandole a eso que te falta para llegar al 10 la comodísima categoría de despreciable. Ahora dadme a mí tenencia y arbitrio sobre todo aquello que vosotros despreciais y ya tendría yo dos o tres universos paralelos muy superiores al vuestro, ah y sin decimales para evtitar emulos de mi accionar

Anónimo dijo...

y Coki no pierdas la cordura que te queda tratando de explicarte esas cuestiones, la matematica es antropocentrica, modelos teoricos muy útiles que han servido a la humanidad para grandes progresos y nada más. O como me juran que dos rectas paralelas jamas se cruzan? O que el circulo es la figura perfecta? Acaso estos buenos señores tienen remota idea de la forma del universo o donde se encuentra su confín?
Leccion numero 1
Lee a los griegos
Leccion numero 2
Jamás le creas a los griegos

Horacio Aldo Cingolani dijo...

Para entrar un poco en este tema habría que repasar los números racionales y los irracionales. lo digo:
racionales son los que se pueden expresar por medio de una fracción. Po ejemlo: 3,3333... es racional porque puede expresarse por una fracción: 10/3 que si bien en nuestra base (10) no puede expresarse por un número finito de cifras, Si puede hacerse en otras bases (por ejemplo en base 6). Los irracionales como el número Pi, (3,1416...) no existen períodos repetitivos expresados en ninguna base.
3,3... es exáctaemnte igual a (3+1/3) que multiplicado por 3 da exactamente 10.

il postino dijo...

COki, alexandros tiene razòn.
Ademàs, si el problema es la precisiòn del corte, no hay un issue matemàtico sino fìsico. Y en ese sentido es pràcticamente imposible hacer tres porciones iguales. Lo que si podes decir es que segùn tu herramienta y metodo de corte las tres porciones seràn iguales dentro de un margen de error de +/- xxx.

y la idea de los "cokis" obviamente es cambiar de nombre si resolver el problema, porque los cokis pueden expresarse en nùmeros y por ende el aparente problema sigue allì, oculto por el lenguaje que utilizas

B-K dijo...

Como ya dijeron varios 0.999.. = 1

Fin de la discusión.

Tenés una confusión con lo que es un infenitesimal. Un infenitesimal es el límite de un incremento, es una nocion de calculo no tiene nada que ver con esto.

En el ejemplo que ponés de la asíntota, la funcion no esta definida en en 9.999 periodico (que es igual a 10). (Además la dunción no es asintótica a 10 sino a infinito en 10. Básicamente cuando x tiende a 10 f tiende a infinito. Más precisamente el limite tampoco esta definido en 10, tiende a +infinito por izquierda y a -infinito por derecha, pero de nuevo esto no tiene nada que ver con lo de 0.999 periódico

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

Te cuesta aceptar que 0.999... es igual a uno porque tenes una confusión conceptual. Usamos la notación períodica porque la base que usamos no nos permite representar 1/3 con un numero finíto de fracciones de 10^-n nada más. Cuando lo multiplicamos por 3 usando las reglas que conocemos de multiplicacion el resultado que nos da es 0.9999 periodico, pero sabemos que es = a 1.Creo que tu confusion viene por el concepto de infenitesimal (como explique arriba) lo que te lleva a pensar que 1-0.99999... = "un infenitesimal" cuando en realidad es igual a 0.

CJGO dijo...

Jaja muy buena la discucion, tengo q reconocer q aprendi mucho de numeros y m hicieron pensar un poco jaja. Pero una pregunta, con la medida de Cokis, no estariamos en lo mismo? que sucederia si una torta midiera 10 Cokis? creo q en esos casos sirbe tomar otro tipo de medida, de todas maneras, q sucederia si una torta midiera 10 pies o 10 pulgadas? creo q sucede en todas las unidades...m pierde un poco, asiq corrijan si m estoy equivocando

Saludos!

wornaki dijo...

Estimado b-k, la confusión en realidad está dada porque la representación de un número y su valor no nos son naturalmente lo mismo. Con los números reales hay un problema muy arbitrario, acerca de que regla "intuitiva" viene primero dentro de la operación, considerando la dificultad inherente a la definición de multiplicación o división. Más allá del hecho de que puedo aceptar que 0,9999... = 1, máxime teniendo en cuenta que estudié cálculo, estudié álgebra y estudié teoría de números, no me cierra para nada la filosofía para categorizar a los reales.
Una vuelta de tuerca para entender un poco lo que quiero decir.
http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

Anónimo dijo...

wornaki, los reales son todos los numeros que no tienen parte imaginaria (todos menos los complejos). Te referiras a los racionales? o iracionales?

b-k

wornaki dijo...

b-K, no me refiero a los números reales en tanto como los define la teoría de conjuntos, lo que va un tanto más allá de la definición normal que todos conocemos.
Por otra parte, dentro de los números reales encontrás a los números irracionales, al menos según lo que dice la misma teoría de conjuntos (y el sentido común). Pero yo me refería a cuestiones como las que toca el artículo que cité...

Coki dijo...

Bueno, lograron convencerme de que 9,9 periódico es 10, o al menos algo que se le parece muchísimo.

Igual, me quedan tres dudas (para molestarlos un poco):

1) 9,9.. es 10 porque no hay ningún número real intermedio ¿Eso significa que en el mundo de los enteros 3=4? Ahh! Sólo aplica a reales, ¿no? Qué arbitrario! ¿Sólo porque son los más precisos conocidos hasta ahora? ¿Y si se inventan más?

2) ¿Qué es esa patraña de que las rectas paralelas se tocan en el infinito?

3) ¿Quién le puso el nombre a los grupos numéricos? Reales, imaginarios, irracionales... Parecen nombres bastante impropios para algo tan serio como la matemática y mi budín-torta.

Postino, creo que es al revés. El problema para cortar la torta es matemático, no físico. Obviamente, sus dimensiones son las mismas más allá de cómo las llamemos.

B-K dijo...

wornaki, no lei todo el articulo que citaste, pero por lo que lei, aborda la discusión desde el lado computacional, es decir de la mecanica de las operaciones. Para mi es un enfoque que complica más las cosas y como que se encierra en sí mismo. En mi opinión el problema en este caso es de representación, designamos 0.3* (me gusto esa notación) como el resultado de 1/3 y listo. Como hacemos las cuentas es otra cuestión, puedo pasarlo a notacion fraccionaria otra vez y se acabo toda la discusion del artículo. Es mi humilde opinión.

horacio ac dijo...

Que dos paralelas no se cortan nunca es un postulado de Euclides. No es algo demostrable. En base a eso se construye toda la geometría de ese señor. Es así y punto. con igual derecho se puede postular que dos paralelas tienen un punto en común. Entonces en base a ese postulado sale toda otra geometría no euclideana. Eso de hecho fue desarrollado (¿Lovachesky?) y es util para algunas cosas, por ejemplo en la teoría de la relatividad

Coki dijo...

Horacio AC, a mi siempre me dijeron que las paralelas se tocan en el infinito. Me timaron?

Rapote dijo...

¿Los 10cm. son de largo o de ancho? (Ya sé que el alto lo pasamos por idem).

;) Rapote

Florencia Gonzalez dijo...

Hola! La verdad es que me hicieron pensar con tantos numeros. Como soy un cero en todo eso lo unico que les pido es que despues de la discucion me guarden un poquito de budin, no me importa si mi porcion esta en cokis, centimetros, milimetros, etc...
:)

Florencia Gonzalez dijo...

Ahh... y tambien soy un cero con esto de los blogs. No queria que apareciera mi nombre...pero ahi estoy, si si, me llamo FLROENCIA GONZALEZ, por si no lo leyeron...
jeje!

ciudadanosindependientes dijo...

Coki:
La matemática es la materia deductiva por excelencia. Esto significa que se construye en base a postulados, que NO SE DEMUESTRAN. lo de las paralelas originó históricamente una gran controversia. Y el tema quedó así: Que las paralelas no se juntan nunca ES un postulado porque no puede ser demostrado en base a otros postulados. Entonces los postulados pueden ser negados o cambiados, y así se crea otra matemáticas o geometría (muchos lo han hecho) Todo el andamiaje de la matemática se construye DEMOSTRANDO los llamados teoremas en base a los postulados básicos. Nosotros estamos inmersos en un mundo, y nos resulta imnposible concebir que los rayos de luz, que siempre se propagan en línea recta, en realidad se curvan. Es todo una teoría (de Einstein y otros) que solo podemosw acepotar porque sus ecuaciones cierran.
Fijate una cosa:
Una superficie palana la podés obtener pensando en un lago absolutamente quieto. Podés trazar en esa superficie un meridiano, que es una recta perfecta. Ahora trazás una paralela a la primera, que resulta ser otro meridiano como es lógico. Pero sabemos que los meridianos se cruzan en los polos. Entonces dos paralelas dibujadas en la superficie plana más perfecta qeu puedo hacer, resulta que se cortan en dos puntos. ¿Más?
Horacio

Anónimo dijo...

hey si una torta mide 10 cm y un Coki mide: 1,2 cm es Imposible que la torta mida 12 cokis porque 12 cokis no es lo mismo que 10 cm!

Coki dijo...

Rapote, en realidad son de una cuarta dimensión que sólo aplica a las tortas, pero para simplificar digamos que es de largo (aunque viste cómo es, en el espacio no hay arriba ni abajo y esas cosas que nos gusta decir a los mediocres que nos hacemos los eruditos).

Ciudadanosindependientes, gracias por la explicación, pero creo que no es TAN así. Lo contás como si la matemática dependiera de los caprichos de cada uno, cuando tiene un sistema interrelacionado que refutaría fácilmente una teoría errónea.
Naturalmente es una ciencia creada por el hombre, es abstracta, por lo que las leyes sí pueden ser convenciones. Pero la lógica interna es importante y muy fuerte.

Anónimo, es al revés. 1cm=1,2 cokis.

vecino horacio dijo...

Pasa Coki, que sin advertirlo mucho, los que eligieron los postulados lo hicieron en base a lo que realmente veían, y por eso la matemática es muy util. Con el desarrollo de la ciencia hay gente que llega a ver y comprender cuestiones que están más allá de nuestra visión diaria de las cosas, entonces les resulta más conveniente para explicar sus fenómenos y obtener un sistema más simple y coherente, cambiar algúno de los postulados.